Tableau récapitulatif : limite d'un produit de suites

Propriété

Soit `(u_n)`  et `(v_n)` deux suites. On s'intéresse à la limite de la suite  `(u_n v_n)` .
FI signifie Forme Indéterminée.

`\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R}, \ell\neq 0 & \pm \infty & \color{red}{\pm \infty} \\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R} & \pm \infty & \pm \infty & \color{red}{0}\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n \times v_n} & \ell_1\times \ell_2 & \pm \infty \text{ (règle des signes)} & \pm \infty \text{( règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ \hline \end{array}`
Par exemple, la dernière colonne du tableau signifie que, si \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\pm \infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0\) , on ne peut pas conclure directement.

Remarque

Attention ! Forme indéterminée ne signifie pas que la suite  `(u_n v_n)` n'a pas de limite ! En effet

• Soit `(u_n)` définie par  `u_n=n²`   et `(v_n)` définie par  \(v_n=\frac{1}{n^2}\) .
  On a  \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=0\) .
  Or \(n^2 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=1\)  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^2 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=1\) .
  Dans ce cas, la suite \((u_n v_n)\) a pour limite `1` .
•   Soit `(u_n)` définie par  `u_n=n^3`   et `(v_n)` définie par  \(v_n=\frac{1}{n^2}\) .
  On a   \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\infty\)  et \(\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=0\) .
  Or   \(n^3 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=n\)  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^3 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=+\infty\) .
  Dans ce cas, la suite \((u_n v_n)\) a pour limite `+\infty` .